科学领域的数字，都很小，用多重指数（多层科学计数法）就可以表达出来。Ywd财富国际

1层指数：粒子的数目。
1摩尔是6×10^23，而整个可观测宇宙范围内的质子数则是136×2^256（约为1.575×10^79。这个奇怪的表达式是Arthur Eddington给出的），光子数是1.1×10^89，而所有的基本粒子的数目则约为10^97。Ywd财富国际

2层指数：粒子的排列。
只需要很少的几个粒子，它们的排列数就已经可以超过宇宙中所有基本粒子的数目了。比如6阶魔方的状态数是1.57153×10^116。“微观状态数”就是这样一种排列的概念，而且参与排列的粒子数目更大。整个可观测宇宙的熵大约是10^120，这意味着微观状态数大概是。Ywd财富国际

3层指数：庞加莱回归时间。看这篇文章的第8页
到这个层次，单位已经不重要了（于是会出现“Planck times, millenia, or whatever”）。
一个箱子仅包含一个质量为M普朗克质量的黑洞，那么它的庞加莱回归时间是。如果把整个可观测宇宙的质量代入，就是这样的数字。最后，如果用林德暴胀模型来估计整个宇宙的大小，再代入前面的式子，那就会得到

这样的数字。Ywd财富国际

==========================================Ywd财富国际

题主一定会想：才这么点大，太无趣了。因为现实世界实在是太小太小了。如果你踏入数学领域，那么你将看到更加巨大的数字。
这些“更加巨大的数字”，我主张分成3类。第一类，最小的，是可定义、可计算的数，或者能被这样的数限制住的数。第二类，更大的，是可定义、不可计算的数，或者能被可定义的数限制住，却没有算法可以计算的数。第三类，最大的，则是不可定义的数。Ywd财富国际

一、Moser数
见白书旭的回答。作为对比，“5放进一个4边形”就已经超过科学领域的最大数字了。Ywd财富国际

二、Graham数
见白书旭的回答。作为对比，（就只有2层）就已经超过Moser数了。Ywd财富国际

三、Goodstein数列
这是一个非常重要的东西，从这里我们将引出序数在大数里的运用。Ywd财富国际

首先，把一个正整数n写成下面这种形式，称作“k进制形式”。

其中都是小于k的正整数，且都是正整数。Ywd财富国际

其次，定义“以k为底的遗传记法”。如果n<k，那么n是以k为底的遗传记法。如果想把一个不小于k的数写成以k为底的遗传记法，那就要先写成k进制形式，然后把指数都写成以k为底的遗传记法。Ywd财富国际

接下来就可以定义Goodstein数列了。给定一个起始数，就可以得到一种Goodstein数列。Ywd财富国际

可以用这种办法得到：先把写成以n为底的遗传记法，然后把里面出现的n都改成n+1，最后减去1。Ywd财富国际

比如起始数为10，那么Ywd财富国际

，写成以2为底的遗传记法，就是，简单一点就是。如果把2改成3，就得到。Ywd财富国际

，写成以3为底的遗传记法，就是。如果把3改成4，就得到。Ywd财富国际

，写成以4为底的遗传记法，就是。如果把4改成5，就得到。Ywd财富国际

，写成以5为底的遗传记法，就是。如果把5改成6，就得到。Ywd财富国际

，写成以6为底的遗传记法，就是。如果把6改成7，就得到。Ywd财富国际

，写成以7为底的遗传记法，就是。如果把7改成8，就得到。Ywd财富国际

，Ywd财富国际

……Ywd财富国际

这个数列看上去在一直递增，似乎没完没了的样子。但我们总还得问一句，如果某一项是0那怎么办？答：到此为止。如果某一项，那这个数列就只有n项，只有有限项。Ywd财富国际

下面的定理令人吃惊：Ywd财富国际

所有的Goodstein数列都只有有限项。

这样我们就能定义出Goodstein函数了。是以n为起始数的Goodstein数列的非零项数。Ywd财富国际

于是，G(1)=1，只有两项：1,0。Ywd财富国际

G(2)=3，只有四项：2,2,1,0。Ywd财富国际

G(3)=5，只有六项：3,3,3,2,1,0。Ywd财富国际

G(4)则比较大。Ywd财富国际

第1项：2^2=4；Ywd财富国际

第2项：3^3-1，但这种写法不是以3为底的遗传记法，得改写成2*3^2+2*3+2才行。Ywd财富国际

第3项：2*4^2+2*4+1Ywd财富国际

第4项：2*5^2+2*5Ywd财富国际

第5项：2*6^2+2*6-1=2*6^2+6+5Ywd财富国际

第6项：2*7^2+7+4Ywd财富国际

第10项：2*11^2+11Ywd财富国际

第11项：2*12^2+12-1=2*12^2+11Ywd财富国际

第12项：2*13^2+10Ywd财富国际

第22项：2*23^2Ywd财富国际

第23项：2*24^2-1=24^2+23*24+23Ywd财富国际

第24项：25^2+23*25+22Ywd财富国际

第46项：47^2+23*47Ywd财富国际

第47项：48^2+23*48-1=48^2+22*48+47Ywd财富国际

……Ywd财富国际

虽然我们没有办法把它一项一项地列出来，但可以想象出，这个过程，如果总是用遗传记法来表示，那么就像是一个倒计时的钟表，只不过每一个“小时”值好多“分钟”，每一个“分钟”值好多“秒”，而且随着项数的增加，每一个“分钟”值的“秒”数会增多，每一个“小时”值的“分钟”数也会增多，但不管怎样，这个倒计时总会结束。Ywd财富国际

无独有偶，集合论中的序数（ordinal）刚好也具有这种性质。如果一个序数的序列，每一项都小于前一项，那么一定只能有有限项。像刚才的倒计时那样，“每一项都小于前一项”的方式，可以是扣掉这一“秒”，也可以是把一个“分钟”换成许多“秒”，把一个“小时”换成许多“分钟”等等。这就启发我们定义一种通用的、基于序数的“倒计时”，称作Hardy hierarchy。Ywd财富国际

1. ，其中n是任意自然数。
   
2. ，其中n是任意自然数，α是任意序数。
   
3. ，其中n是任意自然数，α是非零极限序数。
   

而最后这个表达式中的α[n]，就是把一个“小时”换成许多“分钟”的方式。Ywd财富国际

用Cantor标准式来表示序数，即，其中都是正整数，且都是序数。用这种方式表示的非零极限序数，可以定义。而且。然后；如果β是非零极限序数，那么。Ywd财富国际

于是我们就得到了Goodstein函数的一种比较简单的表达式：
，其中α是把n写成以2为底的遗传记法，再把2换成ω，所得的序数。Ywd财富国际

作为对比，G(12)大于Graham数。Graham数若用Hardy hierarchy表示，仅仅介于和之间罢了，而Goodstein函数却能达到这种级别。Ywd财富国际

四、TREE(3)Ywd财富国际

TREE(3)源于TREE函数。Ywd财富国际

在所有由“顶点k染色的树”组成的，而且满足下面的两个条件的序列中，序列的最大长度就记作TREE(k)。Ywd财富国际

1. 任意正整数i，序列的第i项只有不超过i个顶点
2. 任意正整数i<j，序列的第i项不能嵌入第j项

这里，顶点染色的树之间的嵌入关系比较复杂，但可以转换成下面这个比较简单的定义。如果树A能够通过有限次“去掉一个叶子”和“去掉一个子顶点数为1的顶点，并把它的子顶点和它的父顶点连接起来”操作变成树B，那么B就能嵌入A。
定义到此为止。Ywd财富国际

来试一试吧！我们用一对括号表示一个顶点，最外层的括号表示根顶点，一对括号里面一层的括号是它的子顶点。用不同括号（如()、[]、{}、<>、（）、【】、《》等）表示不同的顶点颜色。Ywd财富国际

TREE(1)=1Ywd财富国际

1. ()，只有1个顶点的树
   

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TREE(2)=3Ywd财富国际

1. 首先是[]，然后我们就不能用任何带有[]的树了。
   
2. 然后(())
   
3. ()

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接下来就到TREE(3)了。Ywd财富国际

1. 首先当然是{}
   
2. 然后[[]]，当然，这里我们只列了一种可能的序列，因此我们只能得出TREE(3)的一个下限。
3. [()()]
   
4. [(()())]，注意，由于最外面的小括号有2个子顶点，所以不能直接去掉，意味着这个树不能嵌入[()()]。
   
5. [(((())))]
   
6. (([((()))]))
   
7. ([((()))][][])
   
8. ([((()))][]()())
   
9. ([((()))]()()()())
   
10. ([((()))](())(())())
    
11. ([((()))](()()())()())
    

……
接下来的事情有点复杂，所以我们还需要一个辅助函数来帮忙——tree函数。Ywd财富国际

在所有满足下面的两个条件的“树列”中，“树列”的最大长度记作tree(n)。Ywd财富国际

1. 任意正整数i，“树列”的第i项只有不超过i+n个顶点
2. 任意正整数i<j，“树列”的第i项不能嵌入第j项

tree和TREE的不同之处在于，tree的序列中，顶点数可以更多，但它全都只能用一种颜色。但，tree和TREE的相同之处在于，有限树的嵌入关系是Well-quasi-ordering。这就直接使得TREE(n)和tree(n)都是有限值，有点类似于Goodstein数列和序数。但和序数不同的是，树与树之间是可以互不嵌入的，但序数与序数之间肯定得有一个小于等于另一个。
不过，我们仍然可以作一个从有限树到序数的对应，使得如果两个树之间有嵌入关系，那一定是序数小的树嵌入序数大的；而任意两个树，序数大的树一定不能嵌入序数小的。然后，把初始的树选成一个尽可能大的序数，按照Goodstein数列那里说的办法，一点一点地降下来，直到0为止。最后用Hardy hierarchy把tree(n)还有TREE(3)表示出来！Ywd财富国际

于是，问题就转化成了，如何作一个从有限树到序数的对应，而且得到的序数上限可以尽可能地大？对于tree中的序列，这里给出了答案，不过它讨论的是有向树（就是分左右的树。其实无向树的情况也类似，极限是；作为对比，Goodstein函数的增长率仅仅到达罢了）。Ywd财富国际

为了表示更大的序数，我们需要一点新记号——φ函数。Ywd财富国际

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，其中α是非零极限序数Ywd财富国际

，其中α是非零极限序数Ywd财富国际

，其中β是非零极限序数Ywd财富国际

以上仅仅是二元φ函数罢了，还不够。接下来是广义的φ函数（标准记法是，其中），只有这样才能赶上TREE序列。Ywd财富国际

1. ，其中α是非零极限序数
   
2. ，其中β是非零极限序数
   
3. ，
4. ，其中α是非零极限序数
   
5. ，其中β是非零极限序数
   
6. ，

Ywd财富国际

其中#表示任意多个（或者0个）形如“α @ β”的项，“α @ 0”项可直接写作“α”，“0 @ β”这样的项则可以省略。Ywd财富国际

那么，接下来便是TREE(3)的序列中，有限树到序数的对应。Ywd财富国际

• []对应
• ([])对应
• (([]))对应
• ([]())对应
• ([](()()()))对应
• ([][])对应
• (([][]))对应
• (([][])(()()()))对应
• (([])[])对应
• ((([]))[])对应
• (([]())[])对应
• (([][])[])对应
• ((([][])[])[])对应
• (([])([]))对应
• (([][])([][]))对应
• ((([][])([][]))(([][])([][])))对应
• ([]()())对应
• ([](())())对应
• ([][]())对应
• ([](())(()))对应
• ([][][])对应
• ([]()()())对应
• ([][][][])对应
• ([]()()()())对应
• [()]对应
• [(())]对应
• [((()))]对应
• ……

中间的过程比较繁琐，不过最后还是可以得出结果的——

其中，tree(3)不像TREE(3)那样巨大，但也至少是262140。而tree函数则增长得和一样快，远远快于Goodstein函数。Ywd财富国际

五、SCG(3)
如果说TREE函数是因为有限树之间的嵌入关系是well-quasi-ordering而成为有限值，那么SCG函数则是因为有限图之间的嵌入关系是well-quasi-ordering而成为有限值——前者是后者的一种特殊情况。SCG是subcubic graph的缩写，这个函数的完整定义如下：Ywd财富国际

在所有满足下面的三个条件的“图列”中，“图列”的最大长度记作SCG(n)。Ywd财富国际

1. 所有图的所有顶点的度都不超过3
2. 任意正整数i，“图列”的第i项只有不超过i+n个顶点
3. 任意正整数i<j，“图列”的第i项不能嵌入第j项

图的嵌入关系又可以这么定义。如果图A通过有限次“把一条边分成两段，中间添加一个顶点”的操作，图B通过有限次“去掉一个度为0的顶点”和“去掉一条边”的操作，成为相同的图，那么图A就能嵌入图B。
因为有限图之间的嵌入关系是well-quasi-ordering，所以我们也可以作一个从有限图（每个顶点的度不超过3）到序数的对应，像前面tree函数中所作的那样。只不过复杂得多，所需的序数也大得多——大得连φ函数都无法表示（可以用ordinal collapsing function表示）。然后把这些大得连φ函数都无法表示的序数放到Hardy hierarchy里面，那就是SCG函数的增长率。
作为对比，SCG(3)>TREE(TREE(…TREE(TREE(3))…))，其中有TREE(3)个TREE。
（不写SCG(3)的近似表达式了，太复杂）Ywd财富国际

六、燃烧数（fusible number）Ywd财富国际

给你们足够过的能够燃烧的绳子，已知每根绳子烧完需要1分钟，但是绳子不均匀，所以你没有办法在绳子燃烧的中途判断时间。那么你将如何测量出45秒？

这个问题看似简单，其中蕴含的模型可不简单。把这个模型中的数学关系提炼出来，可以得到这样一个关系。假设S是用这些绳子能够测量的所有时间（分钟）组成的集合，那么

这样，开头的问题就很明显啦。S中先有0，然后取a=0、b=0就有1/2，最后取a=0、b=1/2就有3/4。Ywd财富国际

但是，其中蕴含的模型可不简单。你会发现，在0~1/2之间有一段空白，这段空白的时间用这些绳子是烧不出来的。换句话说，超过0的能烧出的最小数是1/2分钟。于是定义

也就是说，m(x)是超过x的能烧出的最小数与x的差。
当x是自然数的时候，m(x)迅速地衰减。于是定义，这就是一个增长得飞快的函数。

这个函数增长得比Goodstein函数快，但比ZFC的可证性极限要慢。而它的准确的增长率仍是个未解之谜。Ywd财富国际

七、Loader数Ywd财富国际

如果仅仅给你们512个字符（不计空白）的空间，编出一段程序，在一台假想的、有着足够大的内存的计算机上，运行足够长的时间，你最多能让它输出多大的数呢？乍一看，512个字符少之又少，甚至根本难以把像TREE函数、SCG函数那样的东西定义出来，然而Ralph Loader却写出了下面这段C语言代码，输出一个疯狂的大数——Loader数。Ywd财富国际

#define R { return#define P P (#define L L (#define T S (v, y, c,#define C ),#define X x)#define F );}int r, a;P y, X   R y - ~y << x;}Z (X   R r = x % 2 ? 0 : 1 + Z (x / 2 FL X   R x / 2 >> Z (x F#define U = S(4,13,-4,T  t){   int      f = L t C               x = r;   R         f - 2 ?         f > 2 ?         f - v ? t - (f > v) * c : y :         P f, P T  L X  C                           S (v+2, t  U y C  c, Z (X )))         :         A (T  L X  C                 T  Z (X ) F}A (y, X   R L y) - 1      ? 5 << P y, X       : S (4, x, 4, Z (r) F#define B (x /= 2) % 2 && (D (X {   int      f,      d,      c = 0,      t = 7,      u = 14;   while (x && D (x - 1 C  B 1))      d = L L D (X ) C         f = L r C         x = L r C         c - r || (            L u) || L r) - f ||            B u = S (4, d, 4, r C                    t = A (t, d) C            f / 2 & B  c = P d, c C                               t  U t C                               u  U u) )             C         c && B            t = P               ~u & 2 | B                  u = 1 << P L c C  u) C                P L c C  t) C            c = r  C         u / 2 & B             c = P t, c C             u  U t C             t = 9 );   R a = P P t, P u, P x, c)) C                                 a F}main ()   R D (D (D (D (D (99)))) F