怎样构造一个严格单调上升的还导函数几乎处处为零的，不妨考虑在[0，1]上？
网主 5小时前 156 src 单调函数 0 赞 0 踩
其他回答
我们将有理数 写成一数列，
令
这是一个著名的函数例子，它严格递增，且恰好在有理点处间断。根据实变里熟知的结论，这个函数几乎处处可导。
这里，我们证明这个函数另外一个性质,它的导数几乎处处为零。
对于正有理数 ，我们令
于是有，
再令 ，易知 是零测集。
现在只需要说明，对任意 , 在 处都是导数等于零的。
于是，根据 的定义， 等价于
存在正有理数 ，对任意正整数 ，有：
于是有：
(注意，是恒等变形，这一步）
这说明 的时候， ,即是说
网主 4小时前 0条评论
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下面的回答算是对@网主的补充，在他／她的回答中那个函数是几乎处处可导的，一个自然的问题是处处可导会如何？
第一，有一个非常奇异的函数叫 Pompeiu's function (Pompeiu derivative)，在以下的回答中提到过
dhchen：有哪些让人眼前一亮的函数？
这个函数是处处可导的，而且其导数的0点是稠密。这个函数的导数不可能是 意义下处处为0的，理由如下：
第二，根据rudin实分析定理7.21可知，如果一个函数是处处可导而且其导数是L^1可积，那么这个函数是绝对连续，换句话说 ，这个情况下，如果 那么 换句话说，这个函数不是一个严格单调递增的。
把我这个答案和 @网主 的回答一结合可以说对是对这类问题的一个完整回答。
ps： 回头一看，这居然是我在百晓知道上的第一千个回答。
dhchen 4小时前 0条评论
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