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考虑当前点数和除以10的余数，显然当余数为0时我们停止掷骰子。
定义为“从余数为i开始，到结束为止还需要的掷骰次数的期望”，其中i=0～9。
如果i=0，则停止掷骰子，因此。
如果i=1，考虑下一次掷骰子的结果，现在余数从1等可能地变为2～7，因此可以列出下列方程：
对于i=2～9，可以类似考虑，列出相应的方程。
其中当余数可能变为0时，需要注意把替换为0，比如当i=4时，有：
下面我们把列出的9个方程组成的方程组写成矩阵形式
其中
然后把方程组写成标准形式
其中为9阶单位矩阵。
解这个方程组，解得
第一次掷骰子之后，余数等可能地为1～6，所以模仿上面的形式有
结果正如某位答主所言，是10。我猜想这应该与方程组的结构有关系，希望有人能够给出n面骰子的一般解法。
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评论区有人指出，把得到的9个方程累加起来，可以消去，直接解出，这种方法应该很容易推广到n面骰子，从而解释为什么期望总是10。当然更一般的情况还是应该参考最高票答案提供的引理。 汪轲 3小时前 0条评论
定义为“从余数为i开始，到结束为止还需要的掷骰次数的期望”，其中i=0～9。
如果i=0，则停止掷骰子，因此。
如果i=1，考虑下一次掷骰子的结果，现在余数从1等可能地变为2～7，因此可以列出下列方程：
对于i=2～9，可以类似考虑，列出相应的方程。
其中当余数可能变为0时，需要注意把替换为0，比如当i=4时，有：
下面我们把列出的9个方程组成的方程组写成矩阵形式
其中
然后把方程组写成标准形式
其中为9阶单位矩阵。
解这个方程组，解得
第一次掷骰子之后，余数等可能地为1～6，所以模仿上面的形式有
结果正如某位答主所言，是10。我猜想这应该与方程组的结构有关系，希望有人能够给出n面骰子的一般解法。
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评论区有人指出，把得到的9个方程累加起来，可以消去，直接解出，这种方法应该很容易推广到n面骰子，从而解释为什么期望总是10。当然更一般的情况还是应该参考最高票答案提供的引理。 汪轲 3小时前 0条评论
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翻了下本科随机过程课的笔记，发现了这么一条结论：
但用此结论可以直接秒杀本题，算是“通解”吧。 王赟 Maigo 3小时前 0条评论
一个有限不可约的状态空间中，任一状态的平均返回时间等于稳态分布中该状态概率的倒数。这个结论是一个很复杂的定理的证明过程中的一个引理，其证明被略去了……
但用此结论可以直接秒杀本题，算是“通解”吧。 王赟 Maigo 3小时前 0条评论
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