1，提出一个新的gan计算框架：首先利用vae之类的模型对样本进行降维autoencode，之后在编码空间（低维）里寻找平凡测度（如均匀或正态）到样本测度的最优映射。这样就建立了低维空间平凡测度->低维空间样本编码测度->高维样本空间样本生成这个流程。
2，论文认为gan模型的对抗训练过程不必要，generator对应于optimal transportation的测度映射，discriminator对应于kantorovich potential的计算，而这两步在低维空间里可以解析求解。
3，文章大量篇幅集中在求解monge问题上，这里介绍了kantorovich potential，kantorovich duality（就是wgan求解wasserstein distance的方法）以及平方度量下的brenier potential的数值求解。但是这里不局限于平方度量 ，任意距离度量下利用power diagram都可以数值求解kantorovich potential，只不过平方度量下这个求解比较简单。
4，文章关注于vae降维后低维空间的概率测度映射的求解，做了两个二维空间里的实验，其一是高斯混合模型，其二是弥勒佛表面均匀采样问题。
我觉得这篇文章理论框架很好，如果在真实应用场景下能够证实其有效性，那会彻底改变目前gan模型训练alternative learning过程里大量利用trick的现状，也会简化计算。
不过我认为目前文章还有一个不成熟的地方：
样本量太小，低维空间的维度太低。如果我的理解没问题，brenier potential求解需要用到monte carlo sampling估计梯度（利用poincare duality的newton method我估计大样本量基本用不了），这个sampling在样本量稍大的情形还能不能很好的计算是个问题。
前面几个答主提到的一些问题我认为有如下解释：
1，样本空间是离散测度。
这个可以在离散测度上得到的brenier potential上做一个卷积连续化一下
2，平方度量不同于wgan的距离度量。
power diagram可以用来求解任意度量的kantorovich问题，平方度量求解特别简单，因此拿来示例。
3，online learning，minibatch不好扩展的问题。
大样本量确实是这个模型计算上的挑战，然而minibatch只是用来解决非凸问题里计算复杂度和收敛性问题的，这个框架里目标问题为凸，计算框架本身复杂度就低，根本用不到minibatch。至于online learning可能确实是我孤陋寡闻了，不知道gan这样复杂的计算框架还有online 版本。 武丁明 4小时前 0条评论
谢邀。人要藏拙，对于论文中的拓扑学知识的确超过了我的知识储备，需要再查查相关资料。
概括来说，作者们试图找到一种几何学的对GAN的合理解释。主要使用的方法是将GAN和最优运输问题(optimal transportation)、凸几何进行类比。作者试将一种GAN模型(WGAN)放在了这个框架下进行解释，并提出中对于低维下判别器和生成器的一种计算几何学解释：
- 判别器：计算Kantorovich势能 (约等于WGAN中判别器中计算Wasserstein距离)
- 生成器：计算Brenier势能
- 在选用特定的运输成本函数下(欧式空间中必存在凸代价函数)，Brenier势能可以通过Kantorovich势能求得。通过类比，由此类比可知，生成器存在有关于判别器的闭式解(closed-form solution)
作者认为只需要对判别器进行训练和优化，而生成器可以通过判别器得到显示解，不需要单独的网络对生成器进行训练，其实本不需要“竞争学习”。为了证明这个理论的有效性和拓展，作者提出了了两个实验(2维/3维空间内)。
所以作者的发现主要是：
- 低维下一种计算几何学对于WGAN的等价表示/理解方法
- 通过这种等价表示认为生成器网络是不需要训练的，只需要根据判别器的训练的最优值通过得到结果，即不需要“竞争”
- WGAN的训练方式事实上没有得到最优解，用计算几何的方法会得到更好的结果(实验1) 。并由此提出了一种“几何生成模型”
- 这种类比关系在高维空间还无法用计算几何求得也不存在闭式解，但作者认为有其他的理论可以将结论推广到高维
如果让我胡言乱语几句的话。那么首先作者的理论限定在低维空间，只有在特殊情况下才可以将最优运输理论和凸几何联系起来，最终才能使得WGAN->OMT->Convex Theory->闭式解说通。这也解释了为什么实验设计的这么简单，毕竟工作都是逐步推进的这只是第一步。其次就是作者通过Brenier的理论证明在低维空间上必存在为凸的代价函数，因此最终得到了闭式解。这个也再次提醒了我们维度很重要不然很难有这么漂亮的结果。同时，作者也指出实验中只是一个很小的数据集，只需要一个core和500mb内存，网络也只有1-2层，因此只是个toy example。在低维度、小样本下，作者似乎可以证明计算几何的生成框架比WGAN的生成效果好，但这个是否公平还有待商榷。
我觉得从理论上试图打开黑箱是很好的尝试，但不知道在高维空间中、也就是更实用的领域将来是否能得到这样漂亮的解释。因此这个工作是很积极的，但带来的直接影响还是要谨慎看待。从吸引关注的角度来看，生成器不需要训练非常吸睛，但请大家不要惶恐立马决定弃坑。暂时来看，对于做GAN应用和研究没什么太大的影响，毕竟实用性还是非常重要的考量。从机器学习角度来看，因为维度上升而带来的难度上升是远超线性的，很多低维可行的理论在高维往往失去可比照的结果。在高维度中很多指标往往失去了意义，所以将结论从欧式几何继续推广难度想必不小。因为能力有限，我会继续谨慎观望后续工作并好好补一下拓扑学、流形学知识。
话说回来，理论解释和实用性往往都不是并驾齐驱一起发展的，总是一前一后交替前行。这也是基础学科和应用学科之间最微妙的关系。本文仅是简单的归纳和一点点个人理解，求轻拍。
最后附上作者之一的顾险峰教授对于文章思路的解释，建议阅读：
- 虚构的对抗，GAN with the wind
- 看穿机器学习（W-GAN模型）的黑箱
- 看穿机器学习的黑箱（II）
- 看穿机器学习的黑箱（III）
- 上一个：小学、中学、高中语文老师应具有哪些能力以及素质？
- 下一个：对此一般院校法学本科生，未来努力的方向有呀建议？
