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因为是数量级估计，所以使用 Salpeter IMF 近似计算应该足够精确（根据@黄崧师兄的回答，也应证了这点，差别在10%-30%，没有数量级上的影响）。根据Salperter IMF，有：
。
此时估算一个年老星族里MS贡献出的光度比例，即为，
我们带入合适的质光关系（质量越小的恒星，上面的指数越大，这里取得一个中小质量恒星的值。当然，这里近似的很厉害…不过，那些脱离MS的恒星，只会增大下式中4这个指数，最终让我们得到的2.15变成一个下限），
,
就有，
根据现有的观测，可以认为和远大于，于是可以被忽略，上式近似等于，.
假设 那么.
（……很惭愧，恒星物理都要忘光了…… ）不大清楚观测上turn-off/max的质量比到底取多少比较有代表性…… 如果谁知道欢迎补充。
----
P.S. 黄崧师兄真厉害...短时间内就写了那么多干货，赞！ 热心网民 2小时前 0条评论
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此时估算一个年老星族里MS贡献出的光度比例，即为，
我们带入合适的质光关系（质量越小的恒星，上面的指数越大，这里取得一个中小质量恒星的值。当然，这里近似的很厉害…不过，那些脱离MS的恒星，只会增大下式中4这个指数，最终让我们得到的2.15变成一个下限），
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就有，
根据现有的观测，可以认为和远大于，于是可以被忽略，上式近似等于，.
假设 那么.
（……很惭愧，恒星物理都要忘光了…… ）不大清楚观测上turn-off/max的质量比到底取多少比较有代表性…… 如果谁知道欢迎补充。
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P.S. 黄崧师兄真厉害...短时间内就写了那么多干货，赞！ 热心网民 2小时前 0条评论
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考虑到是量级估计的问题，这个问题对任何学习过恒星演化和看过"老年星族"光谱的人来说都非常直观；老年星族光谱中几乎看到的都是巨星(e.g. K-giant)的吸收线特征，而dwarf的特征不明显，就可知光度上还是由巨星主导的。。。。当然这个属于作弊
比较懒，就简单的写一点儿思路吧
星族的定义很泛泛，这个我们先用简单星族 (Single stellar population) 来近似一下；简单星族可以粗略理解成，在同一时间形成的一族初始化学丰度均一的恒星；在观测上，球状星团可以近似看成老年简单星族的代表 (尽管球状星团内部的星族演化一点也不简单，北京大学李程远在这个方面有很多出色的工作)，更加近似地说，老年宁静椭圆星系的星族也常用老年简单星族来近似，尽管我们知道这个假设不够精确，但实际上，模型对观测的限制也不是很差 (Conroy+2014等).
要回答题中的问题，需要了解一下演化星族合成(Evolutionary Stellar Population Synthesis, SPS)的概念。这是一个把恒星结构演化理论和观测星族性质联系起来的方法，一般来说，要得到一个星族的观测性质 (比如光度) 需要三个要素：
(1) 初始质量函数 (IMF)：决定了同时诞生的一批恒星的质量分布；基本上可以极其粗略的理解成一个power-law分布，且永远是小质量恒星 ( < 1-2 太阳质量)的数量远大于大质量恒星的；在非常小的质量端，power-law是否会出现break变平还有很多可以讨论的，但这里可以不考虑；由于恒星演化可以看成是被质量主导的，可以说，IMF对研究星族至关重要
(2) 恒星演化的等时线 (isochrone)：这个是恒星结构演化理论给出的结晶，描述了同一时间形成的不同质量恒星在CMD上的分布；基础天体物理里对这个的介绍太多了，不赘述；基本上可以看到同时形成的恒星一开始均按质量序列分布在主序上；随着演化，大质量恒星更快的离开主序，所谓Live fast, die young...星族的剩余恒星质量和光度都随之变化；1个太阳质量的恒星，在主序上的时间粗略估计在100亿年(1 Gyr)左右，10个太阳质量的恒星在主序上的时间是不超过1亿年的 (2000-3000万年的样子？)
(3) 不同质量恒星的谱能量分布信息：就是处在等时线上的不同阶段恒星的观测性质，对于题目，知道光度即可；观测上，更多的是需要具体光度随波长的变化，就是光谱；这个一般需要通过观测得到实际的恒星光谱，但是现在也可以通过恒星演化模型理论计算得到。只考虑光度的话，了解恒星的质光比关系就可以了；对于主序星，光度和恒星质量的4次方成正比，所以光度随质量增加的变化是比较"陡"的；对于红巨星，光度完全由氦核质量决定，但光度和恒星总质量的关系会变得比主序星更"陡"。
(演化星族合成的示意图，图中上半部分介绍了如何通过IMF, 等时线，和谱能量分布得到简单星族的观测性质，来自Charlie Conroy 2013年的ARA&A综述)
结合这几个概念，可以想象，一个简单老年星族，一次形成的恒星里面是小质量恒星占绝对质量主导的，随着演化，越来越多的大质量恒星首先离开主序，进入短暂的红巨星等主序后(post main sequence)演化阶段，随后死亡
对于本题：
根据假定的初始质量函数 (假定一个power law的slope就好)，可以知道形成的恒星的质量分布；根据假定的恒星演化模型给出的等时线，可以知道在给定年龄上，哪个质量范围内恒星还位于主序上，而哪个质量区间的恒星位于巨星阶段；粗略的对IMF积分可以知道这两族恒星的质量贡献 (在现有宇宙年龄限制内，老年星族肯定是小质量主序星的质量贡献更大) 和质量加权的平均质量，然后按照主序星和红巨星的光度-质量关系粗略考虑一下，就可以知道，尽管小质量恒星质量主导，光度依然是被巨星主导的 (1太阳质量的主序星光度平均看做1太阳光度的话，一颗 K-giant 可以轻松拼掉上百颗的主序星，更何况老年星族里面主序星的平均质量是小于1太阳质量的；质量变成0.9 太阳质量，光度就剩差不多0.65太阳质量了。。。而某些稀少的M-giant更是可以变态地等于几万颗这样的小质量恒星）
对于具体的主序星占的光度的比例，很多人可能立即想到的是"老年星族"的年龄定义；但其实这个值对年龄并不是特别的敏感，基本上(脑子里的记忆，并没有算，可能有错)，2Gyr以上的简单星族光度就肯定是巨星主导，主序星占少数了；但同时，初始质量函数, IMF，对这个值的影响会很大 (质量决定恒星演化，IMF决定质量分布！IMF其实是一个超级超级重要的概念)
在下面这个图里 (依然是Conroy+2013) ，给出了四种不同的IMF假设下，在0-1太阳质量区间里，不同质量恒星的数量累积分布(左)，质量累积分布(中)，和光度累积分布(右)；可以看到对于一个13.5Gyr (和宇宙几乎同龄，够老了吧)的星族，主序恒星的光度贡献 <30%，但是IMF的影响可以让这个值在10-30%之间变化！
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
补充一点的是，前面是假设的简单星族；对于球状星团或者某些星系局部的星族来说可能还可以近似适用对于星系显然是不成立的；再老年，宁静的星系中现有的恒星也是按照一定的恒星形成历史(恒星形成率随时间演化的具体形式)形成，一般来说，对于宇宙中真实存在的老年星系，他们的恒星形成历史大概是这样的 (自己随手画的图)：
但即便在这样的恒星形成历史下面，上面的结论依然是不变的，当恒星形成活动基本停止后2Gyr后，星族光度基本变成了巨星主导；有兴趣的可以看一眼下面的这个小动画，可以看到星族光谱在恒星形成率大幅度衰减 (e-fold之后) 后很快就变成巨星主导的样子，并基本保持不变了：
hs_sdssspec/mius_kb13z4_s13.6n1.0t0.6r4.0_n100.gif at master · dr-guangtou/hs_sdssspec · GitHub 黄崧 2小时前 0条评论
比较懒，就简单的写一点儿思路吧
星族的定义很泛泛，这个我们先用简单星族 (Single stellar population) 来近似一下；简单星族可以粗略理解成，在同一时间形成的一族初始化学丰度均一的恒星；在观测上，球状星团可以近似看成老年简单星族的代表 (尽管球状星团内部的星族演化一点也不简单，北京大学李程远在这个方面有很多出色的工作)，更加近似地说，老年宁静椭圆星系的星族也常用老年简单星族来近似，尽管我们知道这个假设不够精确，但实际上，模型对观测的限制也不是很差 (Conroy+2014等).
要回答题中的问题，需要了解一下演化星族合成(Evolutionary Stellar Population Synthesis, SPS)的概念。这是一个把恒星结构演化理论和观测星族性质联系起来的方法，一般来说，要得到一个星族的观测性质 (比如光度) 需要三个要素：
(1) 初始质量函数 (IMF)：决定了同时诞生的一批恒星的质量分布；基本上可以极其粗略的理解成一个power-law分布，且永远是小质量恒星 ( < 1-2 太阳质量)的数量远大于大质量恒星的；在非常小的质量端，power-law是否会出现break变平还有很多可以讨论的，但这里可以不考虑；由于恒星演化可以看成是被质量主导的，可以说，IMF对研究星族至关重要
(2) 恒星演化的等时线 (isochrone)：这个是恒星结构演化理论给出的结晶，描述了同一时间形成的不同质量恒星在CMD上的分布；基础天体物理里对这个的介绍太多了，不赘述；基本上可以看到同时形成的恒星一开始均按质量序列分布在主序上；随着演化，大质量恒星更快的离开主序，所谓Live fast, die young...星族的剩余恒星质量和光度都随之变化；1个太阳质量的恒星，在主序上的时间粗略估计在100亿年(1 Gyr)左右，10个太阳质量的恒星在主序上的时间是不超过1亿年的 (2000-3000万年的样子？)
(3) 不同质量恒星的谱能量分布信息：就是处在等时线上的不同阶段恒星的观测性质，对于题目，知道光度即可；观测上，更多的是需要具体光度随波长的变化，就是光谱；这个一般需要通过观测得到实际的恒星光谱，但是现在也可以通过恒星演化模型理论计算得到。只考虑光度的话，了解恒星的质光比关系就可以了；对于主序星，光度和恒星质量的4次方成正比，所以光度随质量增加的变化是比较"陡"的；对于红巨星，光度完全由氦核质量决定，但光度和恒星总质量的关系会变得比主序星更"陡"。
(演化星族合成的示意图，图中上半部分介绍了如何通过IMF, 等时线，和谱能量分布得到简单星族的观测性质，来自Charlie Conroy 2013年的ARA&A综述)
结合这几个概念，可以想象，一个简单老年星族，一次形成的恒星里面是小质量恒星占绝对质量主导的，随着演化，越来越多的大质量恒星首先离开主序，进入短暂的红巨星等主序后(post main sequence)演化阶段，随后死亡
对于本题：
根据假定的初始质量函数 (假定一个power law的slope就好)，可以知道形成的恒星的质量分布；根据假定的恒星演化模型给出的等时线，可以知道在给定年龄上，哪个质量范围内恒星还位于主序上，而哪个质量区间的恒星位于巨星阶段；粗略的对IMF积分可以知道这两族恒星的质量贡献 (在现有宇宙年龄限制内，老年星族肯定是小质量主序星的质量贡献更大) 和质量加权的平均质量，然后按照主序星和红巨星的光度-质量关系粗略考虑一下，就可以知道，尽管小质量恒星质量主导，光度依然是被巨星主导的 (1太阳质量的主序星光度平均看做1太阳光度的话，一颗 K-giant 可以轻松拼掉上百颗的主序星，更何况老年星族里面主序星的平均质量是小于1太阳质量的；质量变成0.9 太阳质量，光度就剩差不多0.65太阳质量了。。。而某些稀少的M-giant更是可以变态地等于几万颗这样的小质量恒星）
对于具体的主序星占的光度的比例，很多人可能立即想到的是"老年星族"的年龄定义；但其实这个值对年龄并不是特别的敏感，基本上(脑子里的记忆，并没有算，可能有错)，2Gyr以上的简单星族光度就肯定是巨星主导，主序星占少数了；但同时，初始质量函数, IMF，对这个值的影响会很大 (质量决定恒星演化，IMF决定质量分布！IMF其实是一个超级超级重要的概念)
在下面这个图里 (依然是Conroy+2013) ，给出了四种不同的IMF假设下，在0-1太阳质量区间里，不同质量恒星的数量累积分布(左)，质量累积分布(中)，和光度累积分布(右)；可以看到对于一个13.5Gyr (和宇宙几乎同龄，够老了吧)的星族，主序恒星的光度贡献 <30%，但是IMF的影响可以让这个值在10-30%之间变化！
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补充一点的是，前面是假设的简单星族；对于球状星团或者某些星系局部的星族来说可能还可以近似适用对于星系显然是不成立的；再老年，宁静的星系中现有的恒星也是按照一定的恒星形成历史(恒星形成率随时间演化的具体形式)形成，一般来说，对于宇宙中真实存在的老年星系，他们的恒星形成历史大概是这样的 (自己随手画的图)：
但即便在这样的恒星形成历史下面，上面的结论依然是不变的，当恒星形成活动基本停止后2Gyr后，星族光度基本变成了巨星主导；有兴趣的可以看一眼下面的这个小动画，可以看到星族光谱在恒星形成率大幅度衰减 (e-fold之后) 后很快就变成巨星主导的样子，并基本保持不变了：
hs_sdssspec/mius_kb13z4_s13.6n1.0t0.6r4.0_n100.gif at master · dr-guangtou/hs_sdssspec · GitHub 黄崧 2小时前 0条评论
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