准确理解是
你可以用有理数的戴德金分割得到实数。
但对实数戴德金分割实质上还是实数，没有别的东西。 热心网民 3小时前 0条评论
其实你得先说明什么叫做空隙……单独一个确界存在定理是没法说明没有空隙这件事的，因为单独这个定理连什么是空隙都定义不出来。
考虑(-∞,0]∪[1,+∞)这个区间并，在这个区间上，有上界则必有上确界也是成立的，对吧？
关键就在于在实数连续性之前，还有一个“有序域”的前提。实数要构成一个域，同时构成一个全序集，而且这个序和运算是相容的。简单来说，如果a > b，则必须有a - b > 0。那么对于上面的例子来说，1-0>0，再考虑0 + (1-0) / 2，这个数应当在0和1之间，但却不在我们给出的集合内，所以和有序域冲突了。也就是说，如果有两个差大于0的实数，它们中间没有其他实数了，这显然就是个空隙，而这个空隙是“有序域”不允许的。
确界原理解决的是在这个基础上，也不能有空隙这件事。
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补充一下之前的答案，我们说了要定义空隙是很困难的，因为许多概念还不完整，实数都没有好好定义出来。在这里我们首先引入了“有序域”的概念，在有序域当中，至少存在这样一些实数：
- 0（某个与任意实数相加都等于那个实数本身的数）
- 1（某个与任意实数相乘都等于那个实数本身的数）
- 2（1 + 1）
- n（所有自然数，除了0和1以外可以从2开始一个一个加出来）
- 1/2（1/(1+1)）
- （这是一个可以“足够小”的正数集合）
我们在这里要将空隙分成两类：
第一类空隙是“可见”的空隙，像上面的例子一样，在数轴上有一个“有长度”的洞。这里所有加引号的都是没有定义的直观概念。
存在第一类空隙 定义为：存在实数的子集A和子集B， ，与实数 ，使得任取 ， ，有 。这里A实际上就是空隙的左侧，A的补集B是空隙的右侧，在左侧和右侧各取一个点，无论怎么努力，它们都不能足够接近。
要证明第一类空隙不存在，这里有一个困难，就是实数本身没有定义完善，那么我们就没法很好控制 这个实数，万一它有什么奇奇怪怪的性质呢？这里就需要引入阿基米德性，阿基米德性的意思就是不管是怎么样桀骜不驯的实数，我都可以用自然数来控制它，像 这样的实数，我总能找到一个自然数比它大，总能找到一个自然数的倒数比它小。这样后续的证明就有了基础，我们可以用域上的加减乘除构造出来一些能控制住它的数。
阿基米德性是可以通过确界存在定理证明的。阿基米德性等价于“不存在比所有自然数都大的实数”，如果存在这样的实数，那么意味着所有自然数存在一个上界，那就存在一个上确界。但是考虑这个上确界减去1，它必须也是所有自然数的上界（否则至少存在一个自然数比上确界减1要大，那两边同时加1，根据序与运算的相容性，就能找到自然数比原来的上确界要大了），这就和上确界矛盾了。所以确界存在定义蕴含了阿基米德性。
我们接下来证明存在第一类空隙与阿基米德有序域是矛盾的，思路很简单，类似于区间套定理，对于某个第一类空隙，取符合定义的任意的a和b，考虑 ，根据域的封闭性这个实数一定存在，它要么在A中，要么在A的补集中。如果在A中，接下来就考虑 和b，否则考虑a和 ，这两个数的差每次缩小一半，根据阿基米德性，最终肯定会缩小到 以下，这就与对一类空隙存在矛盾了。
排除了第一类的空隙之后，可以说我们现在定义的实数一定满足了“稠密性”了，任何两个实数之间都可以以任意小的“间隔”找到其他实数。但这还不能说明实数是连续的，可能实数类似于(-∞, 1.5)∪(1.5, +∞)，这大概也是题主以及题主的教材想要说的“空隙”，但用一个数或者数轴上的点来描述它是不对的，如果这个“空隙”存在，那它就对应不到实数，怎么能设空隙为a，还进行运算呢？要刻画出这个空隙是非常困难的事情。好在，先人已经替我们找到了方法，这个方法就是现代微积分的基石即极限工具。当然我们还不能明目张胆拿出极限来，但思路是一样的，既然我们找不到这个空隙，我们就用空隙附近的实数来逼近它，既然我们刚刚证明了稠密性，那肯定是能找到这样的越来越近的实数的。我们可以用柯西列或者单调有界数列来逼近这个空隙，这里用单调有界数列，很容易证明用这两种数列是等价的（在已知阿基米德性的情况下）。
第二类空隙 定义为：存在某个实数列 ，其中 ，且存在B使得对任意k有 。对于任意实数 ，存在某个N和实数 ，使得对任意 ，有
可以看出这就是将极限的定义反过来写了一下，即“这样的实数列不存在极限”。这意味着我们用某个递增有界数列一点一点去逼近这个空隙，发现并没有哪个实数能描述出这个数列的右边的端点，我们就可以断言，实数在这个数列的上界的地方断掉了。
那么显然确界存在定理和这种情况是互相矛盾的，因为 有上界，那就一定有上确界A，根据第二类空隙定义必须存在N和 使得对任意 有 （根据上界定义去掉了绝对值符号）。那就有 ，那么 也是上界，与上确界矛盾了。所以不存在第二类空隙。
目前我们只知道这两类空隙了，所以既然两种都排除了，就可以认为不存在空隙了。注意在排除的过程中，有序域的作用都是非常大的，所以必须先承认实数可以进行加减乘除的运算，有全序关系，而且序和运算相容，才能从确界存在原理证明连续性。相比起来，柯西收敛定理则直击要害地描述了完备性，但是又缺失了阿基米德性，必须要补充进来，可以说和戴德金分割（以及等价的确界存在定理）各有千秋吧。
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从更深入的层次上来说，连续其实说的是两个实数之间，能不能不间断地收缩到一个相同的点的问题。这种描述就是用区间套来完成的，如果有个空隙在，导致我的两个实数没法不间断收缩到相同的点，我就用一个区间套来套出这个间断的部分，最后说，要么我没法构造出符合条件的区间套（收缩中出现了第一类空隙），要么套住的地方没有实数（出现了第二类空隙），这就是区间套定理的意义。
还可以从开集和闭集的角度来考虑。把实数作为一个空间来考虑，考虑其中一个子集，如果子集里任意一个点都存在一个邻域，使得这个邻域整个在这个集合内，则这个子集是个开集（相当于说任意点都是集合的“内部的点”，没有点在边界上）。如果这个子集的补集是个开集，则说这个子集是个闭集，这意味着和刚才的情况相反，这次所有边界上的点都跑到这个子集内部去了。实数是一维的，连续性实际上就是连通性，刻画连通性的关键就在于这个边界，意味着我们如果将整个空间分开，则分开的地方必须要有边界，否则如果某种分发导致某个位置上居然是没有边界的，那这个位置显然就断开了。没有边界这件事，可以通过子集既是闭集、又是开集来描述，这意味着两个集合的分界线既不在这个集合内，又不在补集内，那就从分界上断开了。这个性质就可以用有限覆盖来描述，对于开集来说，我们总可以构造一个无限的开集的序列，使得开集的序列最终覆盖这个开集中的每一个点（记得开集里每个点都是内点，所以最终会被某个集合包进去）。如果这个开集也是个闭集，那么在这个无限的序列中每个集合都是不可或缺的，也就不存在有限覆盖。反过来，如果每个闭集的开覆盖中都有有限覆盖，证明这个闭集一定不是开集，也就利用我们前面的边界的关系说明了连续性。这就是有限覆盖定理的意义。
可见等价的实数公理其实是从不同的角度刻画连续性。
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