对于一个范畴，我们可以谈论两种不同的相等，一种是“严格相等”，比如态射 和 是可以复合的当且仅当 或 ，这里的范畴中对象 和 的相等更接近我们日常生活中使用的相等，或者是弗雷格意义下的相等，即指称了同一个对象，比如：晨星=暮星 这里的相等的意思是说：晨星和暮星这两个名字指称了同一个对象。另一种相等是“同构”，即 ，这种相等更接近Leibniz的不可辨同一原理（the principle of indiscernibility of identicals），即对于任意的性质P，如果P在A上成立，那么P在B上也成立，我们没有办法通过任何性质来区分A和B。
当我们真正在一个范畴内部工作的时候似乎没有办法来区分那些同构的对象，除非我们知道一些这个范畴之外的信息。例如，我们先验的知道范畴中的对象其实是集合（如果你是在集合论中建立的范畴论，那么范畴中的对象总是某种集合，但是按照范畴论的精神，范畴可以是任何那些满足范畴公理的东西），那么这个范畴中的对象a,b之间的相等就是a,b作为集合的相等，这种集合的相等关系是在这套集合论里先天保证的。对于所有小范畴的范畴Cat来说，其中对象之间的相等就是小范畴们作为集合的相等，因为你的范畴论是在集合论里建立的，一个（小）范畴不过是一个五元组（O，A，domain，codomain，·）而已，O和A是两个集合，domain和codomain是A到O的两个一元函数，·是A上的一个部分二元函数，并且满足相应的范畴公理，两个小范畴的相等就是它们作为一个上述的五元组（一个集合）的相等。当然这种相等是不自然的，比如对于所有群的范畴，这种相等要求两个群论域相同，并且群运算也完全相同，事实上，这个时候你都不需要关心这两个对象是不是群了，你只要它们作为两个二元组（G，·）相等。所以当我们在谈论这种相等的时候根本没有把它们当成群看，而是看成集合了。同样，你也可以定义函子间的相等，因为函子也只是范畴之间的一族映射而已。
这两种相等的分离可能在一阶逻辑里表现的更明显，满足一阶逻辑里的等词公理的关系并不一定是“真正的相等关系”。我们一般会通过取等价类来让等词关系的解释变成真正的相等。但是如果我们在一个理论内部工作，那么我们能知道的唯一相等就是等词公理所刻画的相等。
似乎看起来同构比“严格相等”更自然一些，我们研究拓扑空间主要关心的是拓扑空间的“拓扑性质”，如果两个拓扑空间的“拓扑性质”完全相同，那么我们就可以认为这两个拓扑空间是相等的。但是注意，在A和B同构的条件里，态射相等 和 仍然需要用到“严格相等”。这个问题在所有范畴构成的2-范畴Cat里凸显出来，范畴间的同构概念需要使用“严格相等”，但是对于范畴来说，同构这个概念不是很自然，我们通常使用一种更弱的相等的概念：范畴等价，避免使用函子 和 的“严格相等”，而用函子间的自然同构代替。
内时间意识 5小时前 0条评论我觉得这里牵扯到的问题做一个博士论文应该是没问题的。所以我就随便扯扯。
从一阶逻辑模型论的角度上来说，等于关系严格来说并不是一个对象或者符号上的关系，而是一个指称上的关系。这是什么意思？
首先我们有一套逻辑符号，然后我们有一套非逻辑符号，逻辑符号的解释是固定的，但是非逻辑符号的解释是不固定的，给一个模型的时候我们需要解释这些非逻辑符号，这里我们着重考察的是个体常元符号。
在解释个体常元符号的时候，首先我们要确定一个论域，然后将个体常元符号解释为论域中的对象。这类似于日常生活中见真人的过程：
——大家好，我是罗心澄。
——你他妈就是罗心澄啊，艹你大爷的。
大概这种感觉。为什么这个见真人的过程如此重要？这实际上是在实践上重要。历史人物从某种意义上来说是不可靠的（当然从相同的意义上来说现实人物也是不可靠的），因为很有可能我们将不同的事件归于同一个主体名下。但是这种面对面见人的过程，在一般情况下，是比较可靠的。除非我有一个和我衣着打扮完全一样的双胞胎，总是趁着你目光飘在别的地方就和我换一个位置。（当然日常生活中并没有那么严格的跨时间同一性，这导致除非我现在坐在你面前，否则你不能保证某个事件能不能归在我名下 —— 如果我现在坐在你面前，那么你至少可以保证此时此刻我没有在做某些事情，但是有可能是通过时移错觉故意制造不在场证明呢？Anscombe：你投毒的时候受害者没死，受害者死的时候你没在投毒，然而这说明不了任何问题。）
一阶逻辑里面为了处理量化的问题，还需要针对变量作出这样那样的限制和解释，但是由于这个问题其实和变量的关系不大，因此我就略过变量了。当然，为了不减弱表达力，或者把问题说清楚，我们最好给 domain 里面所有东西都各自配给一个对象语言中的名字。在不配的情况下，我们有两套层次不同的符号，一套是对象语言中的符号，另一套是我们解释对象语言符号中使用到的数学语言或者自然语言中的符号。但是为了要让后者可在对象语言中也被完整地谈论，我们最好将对象语言中的常元集合扩充到和我们要讨论的数学结构的论域大小一样大，这样我们就得到了一套所有 domain 中的元素的名字。而另一套是某些我们需要特别强调的常元的名字。
问题在于，对于前者，我们已经默认了对象的等于和不等是清楚的。如果我们给所有 domain 中的元素都对应上一个名字的话，我们相当于在说，对于 domain 中的任意 x， 是一个我们新引入的常元符号，这个常元符号的指称是 D 中的 x。
而在谈论后者的时候，比如说根据习惯，我们在谈论自然数的时候一般将常元 解释成 0，即或者，这意味着什么？这意味着模型论的层面上我们建立了一个指称关系， I 或者 /overline 构成了一个解释函数。而当我们将模型层面上的东西全部都拉到了对象语言的层面上之后，我们可以说 （左右的 0 的含义是不同的！比如说在别的某些模型中我可以有之类的东西），注意，这个地方「」没有被一个解释函数包裹着，看上去我们绕开了指称问题，但是回到 Frege 的刁难上去：当我们在我们的对象语言中说这个表达式的时候，我们在表达什么？显然我们不是说这两个符号相同，也不是在说这两个符号的含义相同。我们是在说这两个符号的指称相同。指称问题依旧绕不过去。
这里的问题是，整个一阶逻辑模型论在谈论这种问题的时候，已经默认了模型中的对象清清楚楚地摆在那里，我们不会弄错，指称关系说能建立就能建立，有必要的话指过去就行了。
问题是我们可以弄错，最经典的例子是代数中的 i：
- 当我在说 i 的时候，你怎么知道我说的不是 -i？
这个例子完美地展现出了 Max Black 的那个著名结论：莱布尼兹同一律的半边，「性质相同保证同一性」，是错的。
Black 的论证很狡诈：我们可以设想一个宇宙，这个宇宙中只有两个完全一样的球（或许在当代物理学的意义上没有办法完全一样，那就想象这个宇宙服从的物理规律比较简单，更像纯粹的欧式几何吧）：这两个球是完全相同的，完全光滑的，什么都是一样的。当然，如果你跑进这个宇宙里面，有了你作为参照系，你可以说左边那个或者上面那个或者前面那个，或者离你更近的那个——但是这个宇宙中没有你，所以你只能站在外面想这两个球。于是你试图建立一个座标系来说明问题。为了方便起见考虑平面的情况：你随便建立一个座标系好了，你怎么知道你建立的是这个座标系，而不是在和这两个球的中点中心对称的位置上的那个座标系呢？如果这两个球是不可分辨的，那么这两个座标系也是不可分辨的，你试图引入座标系来解决问题，但是这个解决方案仅仅是一个虚假的方案。同理，给球命名也是虚假的方案。最后你说，那我能不能说这里没有两个球，只有一个球？答案是不行。我们无法区分 i 和 -i 不意味着我们要说 i = -i。
i 和 -i 的代数性质上是相同的，我们永远都不知道自己在谈论 i 还是 -i（别跟我说 i > 0 而 -i < 0，也别说座标平面的上下，这些都不 make sense），我们只知道 i 和 -i 是两个不同的对象，但是如果真的有这两个对象的话，我们永远都不知道自己实际上是在指哪一个。它们处在柏拉图的理念空间中，我们没有办法将自身掺合进去作为坐标。
既然在谈论某个想象的宇宙的时候这种指称关系是可疑的，那么我们用一阶逻辑描绘稍微复杂一点的数学系统的时候，这个指称关系是同样可疑的。当然这种可疑性并没有使得我们在理论内部要将 i 和 -i 等同在一起，这种可疑性不过意味着这样简单的事实：对于两个同构的系统，我们的逻辑语言没有分辨力。 ，对于前者成立的结论，对于后者也同样成立。
换一个角度来看，= 的推理规则中，引入规则只有一条，就是 x=x，其它的规则都是依赖于现有的等于关系去推新的等于关系。问题在于，如果我们仅仅按照 x=x 去进行推理，不加入任何额外的项之间的等于关系的假设，那么我们就得到了一个 free term algebra，其它额外的公理都相当于是在这个 free object 上面做 quotient。问题在于，本质上来说这个 free term algebra 的结构本身并不在于具体的函数名和个体常元名，而仅仅关系到有多少个常元，多少个一元函数，多少个二元函数，这就和线性空间一样，只要 base 的大小确定了，具体谁做 base 怎么做都是无所谓的。所以你非要说你这个 free term algebra 里面的那些对象就是这些 term，好，OK，但是它和其它无穷多个都是同构的，那你怎么办？
所以说谈论等同关系，到了某个层面上之后，是没有意义的。绝大多数情况下两个系统谈论同构就足够了。毕竟我们真正想要谈论的，并不是符号本身，而是某种代数结构。
热心网民 5小时前 0条评论- 上一个：打笼换能法的试验步骤？
- 下一个：宝宝一个多月，妈妈受凉发烧，方可吃头孢克肟吗？
