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严格证明是很麻烦的，要用到各种测度的定义，以及证明这些测度的 bi-Lipschitz 不变性 Belleve 4小时前 0条评论
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一句话：这是欧式空间平移不变性的必然结果。
首先，我们承认面积的平移不变性，这是出发点。平移一个矩形，使其下宽与原来的上宽重合，其面积不变。平移前后两个矩形组成一个大矩形，其面积是原矩形的 2 倍（由前面的平移不变性得到），其长也是后者的 2 倍（由线段的平移不变性得到），这暗示面积与长成正比，证明略。同理面积与宽成正比。所以面积的最简表示为「长×宽」。
勒贝格、测度论啥的，不能解决这个问题，因为外测度正是建立在长方形的面积（或 n 维开矩体的体积）这个概念之上的。
人们在对面积公式一无所知的时候，依然知道面积的一个性质，即平移不变性，小彩电从卧室搬到客厅也不会变成 60 吋。他们感受到平移不变性，发现了平移不变性，习惯了平移不变性，离不开平移不变性。所以平移不变性是基本性质，是第一要义，是要首先满足的，即便是欧式空间中各种测度的建立，也个个都想方设法保证自己满足这个性质。 屈竟通 4小时前 0条评论
首先，我们承认面积的平移不变性，这是出发点。平移一个矩形，使其下宽与原来的上宽重合，其面积不变。平移前后两个矩形组成一个大矩形，其面积是原矩形的 2 倍（由前面的平移不变性得到），其长也是后者的 2 倍（由线段的平移不变性得到），这暗示面积与长成正比，证明略。同理面积与宽成正比。所以面积的最简表示为「长×宽」。
勒贝格、测度论啥的，不能解决这个问题，因为外测度正是建立在长方形的面积（或 n 维开矩体的体积）这个概念之上的。
人们在对面积公式一无所知的时候，依然知道面积的一个性质，即平移不变性，小彩电从卧室搬到客厅也不会变成 60 吋。他们感受到平移不变性，发现了平移不变性，习惯了平移不变性，离不开平移不变性。所以平移不变性是基本性质，是第一要义，是要首先满足的，即便是欧式空间中各种测度的建立，也个个都想方设法保证自己满足这个性质。 屈竟通 4小时前 0条评论
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