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如果是高中作业题，那我认为是题目出错了，不论是速度还是高度，随时间的表达式都是无法用初等函数表示的，即使要求出具体数值，那也需要借助计算机来求解。如果是出于兴趣的提问，我觉得挺好的，不拘泥于书本的知识，想要有所拓展。
既然不拘泥了，那下面就来胡扯一番，说说我从这个问题能想到些什么
尤其是，我们主要关心第二个方程（当然第一个方程也是有用的，后面会看到）。如果从第二个方程解出了角度与时间的关系，那么速度和高度都容易计算出来了
好了，剩下的问题是，怎么解？基本上，能手动求解的微分方程都是线性的，这种非线性还带三角函数的微分方程，手工求解是困难的。所以要得到初等的解析表达式是不可能的。
虽然手工求解不可能，我们还是可以做一点简单分析。
1. 小角度：单摆
如果初始的速度很小，那么可以想见，物体就会沿着圆环底部来回运动。物体运动的幅度很小，那么对应的角度也就很小。在小角度下，有：
于是我们求解的微分方程就变成了
这个方程很好求解，即使是高中生也应该能看出来，这个方程代表「有一个回复力大小与位移成正比」，所以这就是个简谐振动——这就是个单摆嘛！
利用初始条件解得到：
这个简谐振动的周期是
周期和初始速度无关，也和物体的质量无关——这正是单摆的性质
这个「小角度」到底有多大适用范围？到后面再详细讨论。
2. 什么情况下会脱离？
题主已经提出了这种可能性，物体会脱离这个圆环。那么什么时候会脱离呢？这个容易想到，就是在径向支持力为0的时候。从上面的方程可以写出径向支持力的表达式：
但是现在角度的表达式还没有求出来，角度的导数也不知道，怎么算呢？
这里我们要用到另一个等式。根据能量守恒，我们可以列出这样一个式子：
把(3)代入(2)，我们可以得到：
在物体将要脱离圆环的临界情况，N=0，代入上式得到（对于临界情况这里用下标 c 表示）：
于是对于每一个初始速度 v0，都可以算出物体在什么时候会脱离圆环——但是！还有一个地方没有考虑到！那就是，依靠这个初始速度，物体能不能到达脱离圆环的那个点呢？从能量守恒(3)式可以看出，令等号右边第一项为 0（也就是令动能为 0，全部转化为势能），那么物体能到达的最高位置对应的角度为（用下标 m 表示）：
要发生脱离，那么必须也就是，联合(4)和(5)两个式子就有：
另一方面，还有，代入(4)，有
综上，只要初始速度范围在 ，那么就一定会发生脱离，脱离发生的位置可以根据(4)进行计算
如果速度小，物体会沿着圆环来回运动；如果速度大，物体会始终沿着圆环做圆周运动。
3. 非初等函数的表达式
经过上面两步的分析，我们对于这个物体的运动有一个大致的了解了。如果非要追根究底，(1)式的积分结果是什么，那就非要用一些「奇奇怪怪」的函数来表示了，比如：
这里 JA 代表雅科比椭圆函数（Jacobi elliptic functions）的模（Jacobi Amplitude），定义为第一类不完全椭圆积分（Elliptic integral）的反函数。关于椭圆函数的具体推导，可以参见 @cloak shining 的回答，步骤非常详细！
画几个图吧（以下几个图中，蓝线代表高度，绿线代表速度，黄线代表圆环对物体的径向支持力）。我有意调整了参数，使得在小角度下物体运动的周期正好是 1 秒，下面不同的图可以看到运动幅度大小对周期的影响
第一幅是小角度的情况，初始速度很小，物体的运动范围也很小。运动基本上是个简谐振动（各种曲线都是正弦余弦），周期差不多就是 1 秒
下面是临界情况之二。这是题主提到的第三种情况（持续圆周运动）的极限，初始速度再慢的话物体就会在到圆环顶点之前脱落。黄线的底端已经到0了：
4. 相图
研究微分方程的趁(zhuang)手(bi)利器！不多说，直接上图吧
当然，上下两条黑线之间与中间黑圈外面的这一片区域是属于第二种情况（物体会脱离圆环），因此这一片区域的相图是需要另外考虑的。中间黑圈里面是第一种情况（物体会来回运动），上下两条黑线之外是第三种情况（物体会做圆周运动）
我会告诉你其实画相图比求解微分方程容易多了吗！
5. 单摆「小角度」适用范围
既然现在已经可以用数值方法求解角度了，那么就可以回答开头提出的问题：单摆的「小角度」到底有多大的适用范围？
把单摆的实际周期与理论周期相比，画在一张图上
可以看出，即使摆动幅度达到 90 度，实际周期比理论周期也只大了不到 20%，如果摆动幅度控制在 5 度以内，那么实际周期比理论周期只大了不到 0.5%
所以说，物理课本上有「单摆实验摆动角度小于 5 度」这样的说法，这是有依据的。 章佳杰 2小时前 0条评论
既然不拘泥了，那下面就来胡扯一番，说说我从这个问题能想到些什么
尤其是，我们主要关心第二个方程（当然第一个方程也是有用的，后面会看到）。如果从第二个方程解出了角度与时间的关系，那么速度和高度都容易计算出来了
好了，剩下的问题是，怎么解？基本上，能手动求解的微分方程都是线性的，这种非线性还带三角函数的微分方程，手工求解是困难的。所以要得到初等的解析表达式是不可能的。
虽然手工求解不可能，我们还是可以做一点简单分析。
1. 小角度：单摆
如果初始的速度很小，那么可以想见，物体就会沿着圆环底部来回运动。物体运动的幅度很小，那么对应的角度也就很小。在小角度下，有：
于是我们求解的微分方程就变成了
这个方程很好求解，即使是高中生也应该能看出来，这个方程代表「有一个回复力大小与位移成正比」，所以这就是个简谐振动——这就是个单摆嘛！
利用初始条件解得到：
这个简谐振动的周期是
周期和初始速度无关，也和物体的质量无关——这正是单摆的性质
这个「小角度」到底有多大适用范围？到后面再详细讨论。
2. 什么情况下会脱离？
题主已经提出了这种可能性，物体会脱离这个圆环。那么什么时候会脱离呢？这个容易想到，就是在径向支持力为0的时候。从上面的方程可以写出径向支持力的表达式：
但是现在角度的表达式还没有求出来，角度的导数也不知道，怎么算呢？
这里我们要用到另一个等式。根据能量守恒，我们可以列出这样一个式子：
把(3)代入(2)，我们可以得到：
在物体将要脱离圆环的临界情况，N=0，代入上式得到（对于临界情况这里用下标 c 表示）：
于是对于每一个初始速度 v0，都可以算出物体在什么时候会脱离圆环——但是！还有一个地方没有考虑到！那就是，依靠这个初始速度，物体能不能到达脱离圆环的那个点呢？从能量守恒(3)式可以看出，令等号右边第一项为 0（也就是令动能为 0，全部转化为势能），那么物体能到达的最高位置对应的角度为（用下标 m 表示）：
要发生脱离，那么必须也就是，联合(4)和(5)两个式子就有：
另一方面，还有，代入(4)，有
综上，只要初始速度范围在 ，那么就一定会发生脱离，脱离发生的位置可以根据(4)进行计算
如果速度小，物体会沿着圆环来回运动；如果速度大，物体会始终沿着圆环做圆周运动。
3. 非初等函数的表达式
经过上面两步的分析，我们对于这个物体的运动有一个大致的了解了。如果非要追根究底，(1)式的积分结果是什么，那就非要用一些「奇奇怪怪」的函数来表示了，比如：
这里 JA 代表雅科比椭圆函数（Jacobi elliptic functions）的模（Jacobi Amplitude），定义为第一类不完全椭圆积分（Elliptic integral）的反函数。关于椭圆函数的具体推导，可以参见 @cloak shining 的回答，步骤非常详细！
画几个图吧（以下几个图中，蓝线代表高度，绿线代表速度，黄线代表圆环对物体的径向支持力）。我有意调整了参数，使得在小角度下物体运动的周期正好是 1 秒，下面不同的图可以看到运动幅度大小对周期的影响
第一幅是小角度的情况，初始速度很小，物体的运动范围也很小。运动基本上是个简谐振动（各种曲线都是正弦余弦），周期差不多就是 1 秒
下面是临界情况之二。这是题主提到的第三种情况（持续圆周运动）的极限，初始速度再慢的话物体就会在到圆环顶点之前脱落。黄线的底端已经到0了：
4. 相图
研究微分方程的趁(zhuang)手(bi)利器！不多说，直接上图吧
当然，上下两条黑线之间与中间黑圈外面的这一片区域是属于第二种情况（物体会脱离圆环），因此这一片区域的相图是需要另外考虑的。中间黑圈里面是第一种情况（物体会来回运动），上下两条黑线之外是第三种情况（物体会做圆周运动）
我会告诉你其实画相图比求解微分方程容易多了吗！
5. 单摆「小角度」适用范围
既然现在已经可以用数值方法求解角度了，那么就可以回答开头提出的问题：单摆的「小角度」到底有多大的适用范围？
把单摆的实际周期与理论周期相比，画在一张图上
可以看出，即使摆动幅度达到 90 度，实际周期比理论周期也只大了不到 20%，如果摆动幅度控制在 5 度以内，那么实际周期比理论周期只大了不到 0.5%
所以说，物理课本上有「单摆实验摆动角度小于 5 度」这样的说法，这是有依据的。 章佳杰 2小时前 0条评论
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受到第二个答主的启发，用微分方程建立高度h，速度V，角度theta三者与时间的关系 然后使用一阶近似把sine函数里的V拉出来与二次方程融合求解
先解出速度，角度与高度便相应解出。这样也只用到了差分方程 并未用到微积分 适合高中物理阶段的知识。做了一阶近似的后果是能量不守恒了，但是前几个周期可以近似反映出物体的运动轨迹。要更精确的结果需要对sine函数的高阶近似，但是也要求解一元高次方程所以难度加大。
g = 9.8m/s^2
圆半径R = 9.8m
初速度V0 = 20m/s
先解出速度，角度与高度便相应解出。这样也只用到了差分方程 并未用到微积分 适合高中物理阶段的知识。做了一阶近似的后果是能量不守恒了，但是前几个周期可以近似反映出物体的运动轨迹。要更精确的结果需要对sine函数的高阶近似，但是也要求解一元高次方程所以难度加大。
g = 9.8m/s^2
圆半径R = 9.8m
初速度V0 = 20m/s
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