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@申力立 的证明存在错误，错误在于显然地认为成立，他的理由是从高到低依次比较每一位数字的大小，但这并不是显然的，这一性质是在已经定义好了，之后才有的。
完整地解释实数的十进制实数（实数的十进制表示）是什么，并不像你可能想象的那么自然。为什么与是同一个实数，而与不是同一个数？为什么是实数，而不是实数？以及为什么当我们在作加法或乘法时必须关注小数点的位置？为什么和是同一个实数？最小的正实数是是什么，是否是？
简单地说就是实数的十进制表示唯一性不成立，所有的实数，当它是有限小数时（从小数点后某位开始全是零的数），它有两种十进制表示，当它不能表示成有限小数时，它只有一种十进制表示。
仅有两种十进制表示，即和。表示的是Cauchy序列
的极限，很明显它的极限为。表示的是Cauchy序列
的极限，这个序列的极限也是是。
这里我推荐《陶哲轩实分析 》一书，tao在附录B中详细地解释了这个问题。
下面来严格地处理实数，从有理数来构造实数有两种方法
一、实数的构造
这里采用Cauchy序列的方法来从有理数构造实数，设表示所有有理数的Cauchy序列的集合，那么我们要构造的实数就是除以一个等价关系的商集：
这个等价关系是当且仅当对每个有理数，存在使得对一切都有。当然这里认为有理数已经定义好了，你可能会问，有理数是如何定义的？这里简单的回顾一下各种“数”的定义：首先自然数是最基础的，它是采用Peano公理和集合论中的ZF公理来定义的，整数是的加法完备化，有理数是的乘法完备化，我们要构造的实数是的度量完备化。
构造实数首先需要Cauchy序列的概念。
定义. （Cauchy序列）一个有理数序列叫做Cauchy序列，当且仅当对每个有理数，存在使得对一切，
比如，即是有理数的Cauchy序列
定义.（等价的序列） 两个序列和是等价的当且仅当对每个有理数，存在使得对一切成立。
实数就是所有Cauchy序列的集合除以这个等价关系的商集。
定义. （实数）形如的对象叫做实数，其中是有理数的一个Cauchy序列。两个实数和叫做相等的当且仅当和是等价的Cauchy序列。我们把叫作 的形式极限。
注. 符号的集合论解释是，它是Cauchy序列在这个等价关系下的等价类：
但这种解释对于我们如何处理实数并没有什么帮助。
后面我们将定义真正的极限，并且证明一个Cauchy序列的形式极限与此序列的极限是相同的。之所以定义形式极限是为了避免循环论证：定义实数需要极限的概念，而极限的概念只有当我们定义了实数之后方能适当地定义。至此，实数就定义好了。
二、实数的十进制表示
前面的实数的构造我们没有用到十进制，因为十进系统本身在数学中不是本质的。十进制系统对于计算很方便，而且由于一千多年的使用，我们从小就习惯于这个系统，但在数学史上，它的确是相等较为近代的发明。但为了处理之类的数，我们需要实数的十进制表示。
定义. （digit）一个digit是这十个符号之一。我们把这些digit与自然数依下述公式等同起来
，，，，
我们还定义数字拾为：（我们还不能使用十进制符号来表示拾，因为那要预先知道十进制，从而导致逻辑循环）
定义. （十进制正整数） 一个十进制正整数是一个digit串，其中是自然数，并且第一个digit 不是零。我们用公式
使每个十进制正整数与正整数相等。
比如是十进制正整数数，而不是，也不是。根据定义
另外，一个单元的十进制整数恰好等于那个digit本身，比如十进制数恰好等于
正整数的十进制表示是存在和唯一的，因为有下面定理：
定理. （正整数的十进制表示是存在和唯一的） 每个正整数都恰等于一个十进制正整数。
这个定理不难证明，主要用到了自然数的带余除法。一旦有了正整数的十进制表示，当然可以加一个负号以用于负整数的十进制表示，最后让也是十进制数，那么就给出了一切整数的十进制表示，由于拾，通常我们用代替拾。
定义. （有限小数） 一个实数叫作有限小数，如果对于两个整数，
很明显，有限小数是有理数，但有理数不一定是有限小数，比如。
定义. （十进制有限小数） 一个十进制有限小数是一个digit的串连同一个小数点，书写成
其中，小数点左边是有限的，小数点右边也是有限的，其中取或则，而是一个十进制自然数(即或为十进制正整数，或为)。这个十进制数等于有限小数
模仿上面定理的证明，可以得到一个类似的定理：
定理. （有限小数的十进制表示是存在和唯一的） 每个有限小数都恰等于一个十进制有限小数。
最后来定义十进制实数：
定义.（十进制实数） 一个十进制实数是一个digit的序列连同一个小数点，书写成
其中，小数点左边是有限的，但小数点右边是无限的，其中取或则，而是一个十进制自然数(即或为十进制正整数，或为)。这个十进制数等于实数
这个级数总是绝对收敛的，因为它是有界的，根据十进制实数和无限级数的定义，表示的是有理数的Cauchy序列
的极限。比如表示的是有理数序列
的极限。
但是实数的十进制有一个小小的瑕疵：一个实数可能有两个十进制表示。我们只能有下面的定理：
定理. （十进制表示的存在性） 每个实数都至少有一个十进制表示
证明主要是根据实数的阿基米德性质。
最后展示一个例子说是实数的十进制表示并不是唯一的。
命题. （十进制表示的唯一性不成立）数有两个不同的实数的十进制表示：和
证明. 表示是明显的，现在计算，根据定义，这是有理数的Cauchy序列
的极限，也就是序列的极限，很明显它的极限是。
数只有这两个十进制表示。事实上，所有的实数，当它是有限小数（即从小数点后某位开始全是零的数）时，它有两种十进制表示，当它不能表示成有限小数时，它只有一种十进制表示。
参考
[1] 陶哲轩实分析
[2] The Definition of the Real Numbers
[3] http://planetmath.org/sites/default/files/texpdf/32907.pdf 余翔 4小时前 0条评论
完整地解释实数的十进制实数（实数的十进制表示）是什么，并不像你可能想象的那么自然。为什么与是同一个实数，而与不是同一个数？为什么是实数，而不是实数？以及为什么当我们在作加法或乘法时必须关注小数点的位置？为什么和是同一个实数？最小的正实数是是什么，是否是？
简单地说就是实数的十进制表示唯一性不成立，所有的实数，当它是有限小数时（从小数点后某位开始全是零的数），它有两种十进制表示，当它不能表示成有限小数时，它只有一种十进制表示。
仅有两种十进制表示，即和。表示的是Cauchy序列
的极限，很明显它的极限为。表示的是Cauchy序列
的极限，这个序列的极限也是是。
这里我推荐《陶哲轩实分析 》一书，tao在附录B中详细地解释了这个问题。
下面来严格地处理实数，从有理数来构造实数有两种方法
- Dedekind分割
- Cauchy序列
一、实数的构造
这里采用Cauchy序列的方法来从有理数构造实数，设表示所有有理数的Cauchy序列的集合，那么我们要构造的实数就是除以一个等价关系的商集：
这个等价关系是当且仅当对每个有理数，存在使得对一切都有。当然这里认为有理数已经定义好了，你可能会问，有理数是如何定义的？这里简单的回顾一下各种“数”的定义：首先自然数是最基础的，它是采用Peano公理和集合论中的ZF公理来定义的，整数是的加法完备化，有理数是的乘法完备化，我们要构造的实数是的度量完备化。
构造实数首先需要Cauchy序列的概念。
定义. （Cauchy序列）一个有理数序列叫做Cauchy序列，当且仅当对每个有理数，存在使得对一切，
比如，即是有理数的Cauchy序列
定义.（等价的序列） 两个序列和是等价的当且仅当对每个有理数，存在使得对一切成立。
实数就是所有Cauchy序列的集合除以这个等价关系的商集。
定义. （实数）形如的对象叫做实数，其中是有理数的一个Cauchy序列。两个实数和叫做相等的当且仅当和是等价的Cauchy序列。我们把叫作 的形式极限。
注. 符号的集合论解释是，它是Cauchy序列在这个等价关系下的等价类：
但这种解释对于我们如何处理实数并没有什么帮助。
后面我们将定义真正的极限，并且证明一个Cauchy序列的形式极限与此序列的极限是相同的。之所以定义形式极限是为了避免循环论证：定义实数需要极限的概念，而极限的概念只有当我们定义了实数之后方能适当地定义。至此，实数就定义好了。
二、实数的十进制表示
前面的实数的构造我们没有用到十进制，因为十进系统本身在数学中不是本质的。十进制系统对于计算很方便，而且由于一千多年的使用，我们从小就习惯于这个系统，但在数学史上，它的确是相等较为近代的发明。但为了处理之类的数，我们需要实数的十进制表示。
定义. （digit）一个digit是这十个符号之一。我们把这些digit与自然数依下述公式等同起来
，，，，
我们还定义数字拾为：（我们还不能使用十进制符号来表示拾，因为那要预先知道十进制，从而导致逻辑循环）
定义. （十进制正整数） 一个十进制正整数是一个digit串，其中是自然数，并且第一个digit 不是零。我们用公式
使每个十进制正整数与正整数相等。
比如是十进制正整数数，而不是，也不是。根据定义
另外，一个单元的十进制整数恰好等于那个digit本身，比如十进制数恰好等于
正整数的十进制表示是存在和唯一的，因为有下面定理：
定理. （正整数的十进制表示是存在和唯一的） 每个正整数都恰等于一个十进制正整数。
这个定理不难证明，主要用到了自然数的带余除法。一旦有了正整数的十进制表示，当然可以加一个负号以用于负整数的十进制表示，最后让也是十进制数，那么就给出了一切整数的十进制表示，由于拾，通常我们用代替拾。
定义. （有限小数） 一个实数叫作有限小数，如果对于两个整数，
很明显，有限小数是有理数，但有理数不一定是有限小数，比如。
定义. （十进制有限小数） 一个十进制有限小数是一个digit的串连同一个小数点，书写成
其中，小数点左边是有限的，小数点右边也是有限的，其中取或则，而是一个十进制自然数(即或为十进制正整数，或为)。这个十进制数等于有限小数
模仿上面定理的证明，可以得到一个类似的定理：
定理. （有限小数的十进制表示是存在和唯一的） 每个有限小数都恰等于一个十进制有限小数。
最后来定义十进制实数：
定义.（十进制实数） 一个十进制实数是一个digit的序列连同一个小数点，书写成
其中，小数点左边是有限的，但小数点右边是无限的，其中取或则，而是一个十进制自然数(即或为十进制正整数，或为)。这个十进制数等于实数
这个级数总是绝对收敛的，因为它是有界的，根据十进制实数和无限级数的定义，表示的是有理数的Cauchy序列
的极限。比如表示的是有理数序列
的极限。
但是实数的十进制有一个小小的瑕疵：一个实数可能有两个十进制表示。我们只能有下面的定理：
定理. （十进制表示的存在性） 每个实数都至少有一个十进制表示
证明主要是根据实数的阿基米德性质。
最后展示一个例子说是实数的十进制表示并不是唯一的。
命题. （十进制表示的唯一性不成立）数有两个不同的实数的十进制表示：和
证明. 表示是明显的，现在计算，根据定义，这是有理数的Cauchy序列
的极限，也就是序列的极限，很明显它的极限是。
数只有这两个十进制表示。事实上，所有的实数，当它是有限小数（即从小数点后某位开始全是零的数）时，它有两种十进制表示，当它不能表示成有限小数时，它只有一种十进制表示。
参考
[1] 陶哲轩实分析
[2] The Definition of the Real Numbers
[3] http://planetmath.org/sites/default/files/texpdf/32907.pdf 余翔 4小时前 0条评论
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前面的回答都不够令人满意，我来写一个完整而清晰的解释。
首先明确指出下面的事实：
思路一：
要给出 1=0.999... 这个事实的严格证明，我们首先需要理解从有理数构造实数的办法，这个构造过程将使我们更加深刻地认识无理数，而不是仅仅停留在"无限不循环小数"的直观层面上。
下面我把这个过程给出一个尽可能详细而易于理解的解释。
这一定义包含两层意思：
因此 (a+b)/2 既不在 A 中, 也不在 B 中，这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。
这样，有理数集的分割 A/B 就归结为下列三种情况：
对第 2 种情况, 我们称分割 A/B 确定了有理数 b，例如上面给的例子就确定了有理数 1。
而对第 3 种情况，即 A 没有最大数，B 也没有最小数，下面就是一个典型的例子:
此时分割 A/B 没有确定任何有理数，即集合 A 和 B 之间存在一个"空隙"，于是我们需要引入一个新的数 (即无理数) 来表示这个"空隙"。在这个例子中，表示这个"空隙"的无理数就是。
这样，我们就得到了无理数的严格定义：
例如，在刚才的例子中，分割 A/B 所确定的无理数大于 A 中的任何有理数，同时小于 B 中的任何有理数。
需要注意的是，符合上述定义的无理数 c 在分割 A/B 给定的前提下一定是唯一的。否则，假设某个有理数集的分割 A/B 确定了两个无理数 c 和 d，不妨设 c<d。取正整数 n 满足
则 nd-nc>1。这说明至少有一个整数 m 满足 nc<m<nd（因为 nc 和 nd 的距离大于1）。于是
由于 c 大于 A 中的任何有理数，而 d 小于 B 中的任何有理数，所以有理数既不在 A 中，也不在 B 中，这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。
从而我们就可以得到实数的严格定义：
实数集和有理数集的一个本质区别是：实数集是完备的。这可以用下面的 Dedekind 分割定理来表示：
换句话说，实数集中没有"空隙"，数轴上的任何一个点都可以用某个实数唯一精确表示。
这样，我们得到了以下结论：
1=0.999...的严格证明：
首先明确指出下面的事实：
无限循环小数 0.999... 与 1 严格相等。很多网友会通过一些初等的方法来理解这个事实，下面举出三种有代表性的初等思路：
思路一：
设 a=0.999...思路二：
则 10a=9.999...
于是 9a=10a-a=9.999...-0.999...=9,
因此 a=1.
由于 1/3=0.333...,思路三：
所以 1=(1/3)×3=0.333...×3=0.999...
0.999...可以看成首项为 0.9, 公比为 0.1 的等比数列但是，需要强调的是，以上三种思路可以用来帮助你直观理解，但你不能把它们当成“1=0.999...”的严格证明。原因是，“0.999...”这样的无限小数的严格表示是超出了初等数学的范围的，你不能想当然地对“0.999...”这样的无限小数做普通的加减乘除运算，所以上面三种初等思路只能算“投机取巧”的“初等理解”，而不能叫做“严格证明”。
的所有项之和.
根据等比数列的求和公式,
要给出 1=0.999... 这个事实的严格证明，我们首先需要理解从有理数构造实数的办法，这个构造过程将使我们更加深刻地认识无理数，而不是仅仅停留在"无限不循环小数"的直观层面上。
下面我把这个过程给出一个尽可能详细而易于理解的解释。
设两个非空有理数集合 A 和 B 满足：A∪B 为全体有理数，且对任意 a∈A 和 b∈B，都有 a<b。则称A 和 B 构成有理数集的一个 Dedekind 分割，简称分割，记为 A/B。
这一定义包含两层意思：
- 对任何一个有理数 a，它要么在 A 中, 要么在 B 中，但不会同时在 A 和 B 中；
- A 中的每个有理数都小于 B 中的任何一个有理数。
- A 有最大数，B 没有最小数；
- A 没有最大数，B 有最小数；
- A 没有最大数，B 也没有最小数；
- A 有最大数，B 也有最小数。
因此 (a+b)/2 既不在 A 中, 也不在 B 中，这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。
这样，有理数集的分割 A/B 就归结为下列三种情况：
- A 有最大数 a，B 没有最小数。例如：
- A 没有最大数，B 有最小数 b。例如：
- A 没有最大数，B也没有最小数。
对第 2 种情况, 我们称分割 A/B 确定了有理数 b，例如上面给的例子就确定了有理数 1。
而对第 3 种情况，即 A 没有最大数，B 也没有最小数，下面就是一个典型的例子:
此时分割 A/B 没有确定任何有理数，即集合 A 和 B 之间存在一个"空隙"，于是我们需要引入一个新的数 (即无理数) 来表示这个"空隙"。在这个例子中，表示这个"空隙"的无理数就是。
这样，我们就得到了无理数的严格定义：
设 A/B 是有理数集的一个分割，如果 A 中没有最大数，B 中没有最小数，则称分割 A/B 确定了一个无理数 c，c 大于 A 中的任何有理数，同时小于 B 中的任何有理数。
例如，在刚才的例子中，分割 A/B 所确定的无理数大于 A 中的任何有理数，同时小于 B 中的任何有理数。
需要注意的是，符合上述定义的无理数 c 在分割 A/B 给定的前提下一定是唯一的。否则，假设某个有理数集的分割 A/B 确定了两个无理数 c 和 d，不妨设 c<d。取正整数 n 满足
则 nd-nc>1。这说明至少有一个整数 m 满足 nc<m<nd（因为 nc 和 nd 的距离大于1）。于是
由于 c 大于 A 中的任何有理数，而 d 小于 B 中的任何有理数，所以有理数既不在 A 中，也不在 B 中，这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。
从而我们就可以得到实数的严格定义：
由全体有理数，以及有理数的分割所确定的全体无理数，构成的集合成为实数集。跟有理数的分割类似，我们可以定义出实数的分割：
设两个非空实数集合 A 和 B 满足：A∪B 为全体实数, 且对任意 a∈A 和 b∈B，都有 a<b。则称 A 和 B 构成实数集的一个分割，同样记为 A/B。
实数集和有理数集的一个本质区别是：实数集是完备的。这可以用下面的 Dedekind 分割定理来表示：
设 A/B 是实数集的一个分割，则或者 A 有最大数，或者 B 有最小数。这个定理说明，实数集的分割不存在有理数集的分割的第 3 种情况，即 A 没有最大数、B 也没有最小数的情况。
换句话说，实数集中没有"空隙"，数轴上的任何一个点都可以用某个实数唯一精确表示。
这样，我们得到了以下结论：
- 每个有理数集的分割确定唯一一个实数；
- 两个相同的有理数集的分割所确定的实数一定是相同的；
- 如果两个实数不相等，那么确定它们的分割一定是不同的。
1=0.999...的严格证明：
设 t=0.999...，作两个有理数集的分割申力立 4小时前 0条评论
根据前面的讨论，分割 A/B 确定了实数 t=0.999... （我们暂时不知道 t=0.999...是有理数还是无理数），分割 C/D 确定了有理数 1。
为证明 t=1，我们只需要证明这两个分割是相同的，即证明 A=C。
若有理数 x∈A，则显然有 x<1，于是 x∈C。这说明 。下面只需证明。
若有理数 x∈C，则 x<1。不妨设 x>0。根据有理数的定义，我们可以把 x 用分数的形式表示为
既然0<x<1，则必有p<q。于是由
可知存在正整数 n 使得
于是
既然 x<t，这就说明 x∈A。从而我们就证明了。
综上所述，我们就得到了 A=C，从而 A/B 和 C/D 是两个相同的分割，因此 0.999...=t=1。
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- 上一个：有没有励志的英语小故事3-5分钟的，急忙，谢谢大家啦。？
- 下一个：发现的计算单位凡什么？
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