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噗, 秉持着不嫌事大的原则我姑且也来尝试着详细地解释一下吧.
首先做一个说明, 相信题主应该知道的是（书上肯定也会说到）是一个形式记号, 他和表示的含义是完全相同的. 题主在意的其实是孤立的是什么含义. 一般高数或者数分（或者微积分）书上把等式
,
的极限情形人为记作
,
这里的含义是比较含混不清的. 从数学的角度, 我们还是希望能够明确地从已知的概念定义微分到底是什么, 或者说, 包含于怎样的集合, 是怎么（构造）出来的, 而不是随手写一串字母给它取个名字, 连它包含在什么样的集合里, 这个集合是怎么构造出来的, 又有着什么样的结构都说不清楚.
那么为此, 我们先大概梳理一下想法, 然后把想法给严格地实现.
实际上, 我们明确地定义的思路已经在微积分里就已经说明了. 就是在考虑函数在附近的局部性质时, 用函数的线性近似（线性主部）来在局部代替原函数, 把非线性的函数（提取一部分的信息）在局部表示为一个线性函数.
既然要构造一个线性函数, 就要知道定义域是什么. 一个线性函数的定义域当然应该是, 但这里这个局部线性函数的定义域和原来的非线性函数的定义域似乎不太一样（从记号上来看一个变量叫一个叫当然不一样嘛）. 这让我们很困扰.
姑且打一个不恰当的比方, 我们中学知道向量的概念, 一般而言向量是平移不变的, 但也有些时候我们会给定向量一个固定起点. 比如在物理上, 一个质点有一个运动轨迹, 我们说它在一个点的速度是一个向量. 当我们表示它是在点的速度时, 这个向量的起点是被固定的.
换句话说, 可以认为在点上长（zhang）出了一个向量, 向量的集合是向量空间, 于是: 在点就长（zhang）出了一个向量空间, 是速度的可能取值空间. 这样的看法似乎在这里显得多余, 但是在定义微分时, 这样的看法似乎对我们有一些启示, 因为所在空间似乎就与函数的定义域不同, 而所在空间的起点似乎也正是点.
我们现在来描述怎么严格构造. 我们考虑的是函数的近似, 为了方便起见考虑全体光滑函数集合, 我们考虑的局部, 因此我们把在的某个领域相等的函数看成是同一个（等价类）, 这样在点处就得到一个更简化的集合, 成为点处的函数芽集合. 也就是 Hatcher（是指那位答主啊23333）所定义的.
看一下图的话, 感觉就是上的光滑函数都是由函数芽延伸（生长）出来的. 如果看上去不太光滑的话, 那其实只是因为我画的不好.
这样的简化还是不够的. 我们可以要得到这些函数的线性化. 那么为此我们把所有导数相同的点再看成同一个点. 也就是如果两个函数导数之差为0, 那他们的线性化应该等同起来. 因此我们把所有导数相同的芽等同起来, 这也就是Hatcher所说的对商掉导数为0的部分. 这样等同之后得到的空间就称作处的余切空间, . 可以证明（注意这不是显然的）就是1维向量空间, 也就是.
（这里我偷懒了, 因为上的导数可以定义所以就这么来了, 在一般的流形上当然不能这样.）
此时, 就是余切空间上面的元素, 是导数为1的那个等价类, 换句话说, 是函数的微分. 而就是余切空间之间的线性函数了. 这也就是张智浩所说的意思了.
这看上去似乎不太直观, 无穷小哪里去了? 但是我们看到, 我们想要的, 也就是把非线性函数化为线性函数的目标其实已经实现了. 就和定义极限的时候我们绕过了 "无限接近" 的表述一样, 在这里, 我们绕过了 "无穷小量" 的表述, 但既然效果是一样的, 那不就好了吗?
至于解释Jean Praust所说的对偶空间, 那就要麻烦一些了, 需要一些线性代数, 我们就不聊了吧~（我就是这么懒呀）
但是这么绕一圈有什么用呢? 这也许需要答主学习微分流形的时候才能体会了. 大概说一下的话, 这是因为我们很多时候没有办法把原有空间（在这里就是原有函数的定义域）和余切空间等同起来. 比如说在一个弯曲的空间（虽然我们还没有说什么叫弯曲）, 我们也想做微积分, 想用线性部分代替非线性的函数. 但空间本身都是弯的, 那还哪里来的线性, 哪里来的向量呢? 这时就需要上面这样绕圈子的方法来人为地构造这样一个向量的集合, 实现线性化的目标啦.
所以之所以有时候会有一些看上去严格却废话的定义, 很多时候是因为再进一步更困难的问题中我们不得不这么做啊.
最后, 祝看到这里的人大后天新年快乐~（我觉得我真是太闲了） 李木子 3小时前 0条评论
首先做一个说明, 相信题主应该知道的是（书上肯定也会说到）是一个形式记号, 他和表示的含义是完全相同的. 题主在意的其实是孤立的是什么含义. 一般高数或者数分（或者微积分）书上把等式
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的极限情形人为记作
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这里的含义是比较含混不清的. 从数学的角度, 我们还是希望能够明确地从已知的概念定义微分到底是什么, 或者说, 包含于怎样的集合, 是怎么（构造）出来的, 而不是随手写一串字母给它取个名字, 连它包含在什么样的集合里, 这个集合是怎么构造出来的, 又有着什么样的结构都说不清楚.
那么为此, 我们先大概梳理一下想法, 然后把想法给严格地实现.
实际上, 我们明确地定义的思路已经在微积分里就已经说明了. 就是在考虑函数在附近的局部性质时, 用函数的线性近似（线性主部）来在局部代替原函数, 把非线性的函数（提取一部分的信息）在局部表示为一个线性函数.
既然要构造一个线性函数, 就要知道定义域是什么. 一个线性函数的定义域当然应该是, 但这里这个局部线性函数的定义域和原来的非线性函数的定义域似乎不太一样（从记号上来看一个变量叫一个叫当然不一样嘛）. 这让我们很困扰.
姑且打一个不恰当的比方, 我们中学知道向量的概念, 一般而言向量是平移不变的, 但也有些时候我们会给定向量一个固定起点. 比如在物理上, 一个质点有一个运动轨迹, 我们说它在一个点的速度是一个向量. 当我们表示它是在点的速度时, 这个向量的起点是被固定的.
换句话说, 可以认为在点上长（zhang）出了一个向量, 向量的集合是向量空间, 于是: 在点就长（zhang）出了一个向量空间, 是速度的可能取值空间. 这样的看法似乎在这里显得多余, 但是在定义微分时, 这样的看法似乎对我们有一些启示, 因为所在空间似乎就与函数的定义域不同, 而所在空间的起点似乎也正是点.
我们现在来描述怎么严格构造. 我们考虑的是函数的近似, 为了方便起见考虑全体光滑函数集合, 我们考虑的局部, 因此我们把在的某个领域相等的函数看成是同一个（等价类）, 这样在点处就得到一个更简化的集合, 成为点处的函数芽集合. 也就是 Hatcher（是指那位答主啊23333）所定义的.
看一下图的话, 感觉就是上的光滑函数都是由函数芽延伸（生长）出来的. 如果看上去不太光滑的话, 那其实只是因为我画的不好.
这样的简化还是不够的. 我们可以要得到这些函数的线性化. 那么为此我们把所有导数相同的点再看成同一个点. 也就是如果两个函数导数之差为0, 那他们的线性化应该等同起来. 因此我们把所有导数相同的芽等同起来, 这也就是Hatcher所说的对商掉导数为0的部分. 这样等同之后得到的空间就称作处的余切空间, . 可以证明（注意这不是显然的）就是1维向量空间, 也就是.
（这里我偷懒了, 因为上的导数可以定义所以就这么来了, 在一般的流形上当然不能这样.）
此时, 就是余切空间上面的元素, 是导数为1的那个等价类, 换句话说, 是函数的微分. 而就是余切空间之间的线性函数了. 这也就是张智浩所说的意思了.
这看上去似乎不太直观, 无穷小哪里去了? 但是我们看到, 我们想要的, 也就是把非线性函数化为线性函数的目标其实已经实现了. 就和定义极限的时候我们绕过了 "无限接近" 的表述一样, 在这里, 我们绕过了 "无穷小量" 的表述, 但既然效果是一样的, 那不就好了吗?
至于解释Jean Praust所说的对偶空间, 那就要麻烦一些了, 需要一些线性代数, 我们就不聊了吧~（我就是这么懒呀）
但是这么绕一圈有什么用呢? 这也许需要答主学习微分流形的时候才能体会了. 大概说一下的话, 这是因为我们很多时候没有办法把原有空间（在这里就是原有函数的定义域）和余切空间等同起来. 比如说在一个弯曲的空间（虽然我们还没有说什么叫弯曲）, 我们也想做微积分, 想用线性部分代替非线性的函数. 但空间本身都是弯的, 那还哪里来的线性, 哪里来的向量呢? 这时就需要上面这样绕圈子的方法来人为地构造这样一个向量的集合, 实现线性化的目标啦.
所以之所以有时候会有一些看上去严格却废话的定义, 很多时候是因为再进一步更困难的问题中我们不得不这么做啊.
最后, 祝看到这里的人大后天新年快乐~（我觉得我真是太闲了） 李木子 3小时前 0条评论
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虽然这个问题题主是几年前问的，但这个问题我在海量的地方被人问到，所以我觉得写个答案也是可能对大家有帮助的。
首先严格的定义来看dx确实必须要用到微分形式，也就是@Hatcherr所提到的解释（当然可以不用那么现代的语言）。但我认为题主（包括很多初学微积分的同学）比较困惑的地方其实根源是Leibniz符号体系本身是有一定混淆的。
在经典的数学、物理书上，对一个函数求导是有以下几种符号的
,,。第二种符号是Leibniz体系，第三种是牛顿体系（往往在物理中出现）。事实上，本身可以应该看作一个“操作”，你放进去一个函数，就得到一个函数，这个函数就是它的导数；所以这个地方把所谓的“分子”“分母”拆开看其实是没道理的，因为它本身就是一个整体。
但比较神奇的是，如果我们形式上把看成一个“分数”，那么在解ODE、链式法则、换参数积分时甚至可以用一些大家熟悉的分数的操作来处理这个函数，结果仍然正确，看起来还很方便；甚至考虑到一些物理上的含义，这么做很多时候直觉上还没什么问题。当然从微分形式的角度出发，这是自然的，并不神奇；但是对于初学者而言，引入那么复杂的语言来证明这些简单的操作，实在太辛苦了，所以很多时候就糊弄糊弄过去了，留下许多像题主这样的疑问。
许多年下来数学中很多符号规范已经被广泛使用了，所以这些有些混淆的符号就被一直使用下来了。考虑到Leibniz的时代连严格的微积分基础都没有，这种符号会带来很多混淆也是难免的。 Sun Ao 3小时前 0条评论
首先严格的定义来看dx确实必须要用到微分形式，也就是@Hatcherr所提到的解释（当然可以不用那么现代的语言）。但我认为题主（包括很多初学微积分的同学）比较困惑的地方其实根源是Leibniz符号体系本身是有一定混淆的。
在经典的数学、物理书上，对一个函数求导是有以下几种符号的
,,。第二种符号是Leibniz体系，第三种是牛顿体系（往往在物理中出现）。事实上，本身可以应该看作一个“操作”，你放进去一个函数，就得到一个函数，这个函数就是它的导数；所以这个地方把所谓的“分子”“分母”拆开看其实是没道理的，因为它本身就是一个整体。
但比较神奇的是，如果我们形式上把看成一个“分数”，那么在解ODE、链式法则、换参数积分时甚至可以用一些大家熟悉的分数的操作来处理这个函数，结果仍然正确，看起来还很方便；甚至考虑到一些物理上的含义，这么做很多时候直觉上还没什么问题。当然从微分形式的角度出发，这是自然的，并不神奇；但是对于初学者而言，引入那么复杂的语言来证明这些简单的操作，实在太辛苦了，所以很多时候就糊弄糊弄过去了，留下许多像题主这样的疑问。
许多年下来数学中很多符号规范已经被广泛使用了，所以这些有些混淆的符号就被一直使用下来了。考虑到Leibniz的时代连严格的微积分基础都没有，这种符号会带来很多混淆也是难免的。 Sun Ao 3小时前 0条评论
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- 上一个：含有水草丰茂意思的汉字有什么样，抑或有什么样衣食无忧安康快乐意思的成语？
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